9. September 2010 / Heike Lorenz

Kaufmännisches Rechnen – Zinsrechnen

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Heute gibt es den zweiten Teil unseres kleinen Mathematik-Kurses “Kaufmännisches Rechnen für Unternehmer”.

Dieses Mal: Zinsrechnen!

Ob bei der Kreditvergabe oder bei der Überlegung welche Investition die sinnvollere ist – stets begegnet man Verzinsung, Zinsen und Zinseszinsen…

Also ein Thema dem man im Arbeitsleben häufig begegnet und von dem man zumindest grundlegend eine Ahnung haben sollte als Unternehmer!

Grundlagen

Zinsen sind die Vergütung für die Überlassung von Geld für einen bestimmten Zeitraum.

Die Faktoren für die Berechnung der Zinsen (Z) sind:

das eingesetzte Kapital zu Beginn der Laufzeit = K₀
das erwirtschaftete Kapital am Ende der Laufzeit = K_n
der nominale Zinssatz in Prozent (p_nom = Prozent) und
die Laufzeit (n = Jahre, m = Monate, t = Tage bzw. t_Jahr = Tage pro Jahr)

Einfache Zinsrechnung

Jahreszinsen: Zinsen = (Kapital x Zinssatz x Jahre) / 100 bzw. Z = (K x p_nom x n) / 100

Monatszinsen: Zinsen = (Kapital x Zinssatz x (Monate/12)) / 100 bzw. Z = (K x p_nom x (m/12)) / 100

Tageszinsen: Zinsen = (Kapital x Zinssatz x (Tage/Tage pro Jahr)) / 100 bzw. Z = (K x p_nom x (t/t_Jahr)) / 100

ACHTUNG:

In Deutschland werden im privaten Bereich zur Berechnung der Zinsen Jahre und Monate mit der realen Tageszahl angesetzt (d.h. t_Jahr = 365).
Im kaufmännischen Umfeld bedient man sich einer Vereinfachung, indem alle Monate 30 Tage haben und das Jahr somit nur 360 Tage (d.h. t_Jahr = 360).
Im Ausland sollte man sich unbedingt erkundigen, mit welcher Tageszahl pro Monat bzw. Jahr gerechnet wird, bevor man eine Kreditvereinbarung (gleich welcher Art) eingeht.

Zinseszinsrechnung

Bei dieser Form der Zinsberechnung werden die nicht ausgezahlten Zinsen mitverzinst, d.h. der Zins erwirtschaftet auch Zinsen.

Grundsätzlich gibt es zwei Wege der Zinseszinsrechnung: vom Beginn zum Ende der Laufzeit oder andersherum. Dabei werden die Zinsen entweder auf das eingesetzte Kapital aufgeschlagen oder vom erwirtschafteten Kapital abgezogen. Folgerichtig spricht man von Auf- oder Abzinsung.

Aufzinsung = Berechnung des Kapitals am Ende der Laufzeit auf Basis des eingesetzten Kapitals, des Zinssatzes und der Laufzeit

Formel: K_n = K₀ x (1 + p_nom/100)ⁿ

Beispiel: Setzt man 100 EUR ein, so erhält man nach 4 Jahren bei einer Verzinsung von 7% einen Betrag von: K₄= 100 x (1 + 7/100)⁴ = 100 x 1,07⁴ = 100 x 1,3108 = 131,08 EUR

Abzinsung = Berechnung des eingesetzten Kapitals (= Barwert) zu Beginn der Laufzeit auf Basis des finalen Kapitals, des Zinssatzes und der Laufzeit

Formel: K₀ = K_n / (1 + p_nom/100)ⁿ

Beispiel: Hat man am Ende ein Kapital i.H.v. 120 EUR, so betrug das eingesetzte Kapital vor 4 Jahren bei einer Verzinsung von 7%: K₀= 120 / (1 + 7/100)⁴ = 120 / 1,07⁴ = 120/ 1,3108 = 91,55 EUR

Effektivzinsberechnung

Der Effektivzinssatz (p_eff) ist der eigentlich entscheidende Zinssatz. Er berücksichtigt im Gegensatz zum Nominalzinssatz (p_nom) alle anfallenden Kosten und Gebühren eines Kredites bzw. sagt einem, was eine Kapitalanlage wirklich erwirtschaftet (z.B. bei unterjähriger Verzinsung).

Unterjährige Verzinsung

Normalerweise werden die Zinsen einmal jährlich zum Jahresende gut geschrieben. Es gibt aber auch andere Verzinsungsintervalle, z.B. quartalsweise oder monatlich. Die Zinsformel muss also auf die Anzahl der Zinsperioden (m) in einem Jahr angepasst werden.

Berechnung des Effektivzinssatzes bei unterjähriger Verzinsung: p_eff = (1 + p_nom/m)^m – 1

Beispiel: wie oben legen wir 100 EUR für 4 Jahre mit einem Nominalzinssatz von 7% an. Je nach Verzinsungsperiode ergeben sich unterschiedliche Werte:

jährliche Verzinsung: K₄= 131,08 EUR und p_eff = p_nom = 7%
quartalsweise Verzinsung: K₄= 131,99 EUR und p_eff = 7,19%
monatliche Verzinsung: K₄= 132,21 EUR und p_eff = 7,23%

Kreditvergleich

Möchte man zwei Kredite vergleichen, so reicht nicht nur der Blick auf den Nominalzinssatz. Auch die Kosten und das Disagio müssen berücksichtigt werden.

Beispiel für einen Kredit i.H.v. 200.000 EUR mit einer Laufzeit von n = 4 Jahren:

Kreditangebot A: Nominalzinssatz 9% und Disagio 2% (d.h. Auszahlungsbetrag = 196.000 EUR)

p_eff = ((Zinsen pro Jahr + Disagio pro Jahr) x 100) / Auszahlungsbetrag = (196.000 x 9% + 4.000 / 4) x 100) / 196.000 = 9,51%

Kreditangebot B: Nominalzinssatz 8,5%, Disagio 2,5% (d.h. Auszahlungsbetrag = 195.000 EUR) und Bearbeitungsgebühr 0,25%

p_eff = ((Zinsen pro Jahr + Disagio pro Jahr + Gebühren pro Jahr) x 100) / Auszahlungsbetrag = (200.000 x 8,5% + 5.000 / 4 + 500 / 4) x 100) / 195.000 = 9,42%

FAZIT: Kreditangebot B ist günstiger.

Skonto ziehen mittels Fremdfinanzierung

Neben dem klassischen Vergleich von zwei unterschiedlichen Krediten ist auch Entscheidung über die Finanzierung eines Skontoabzugs mittels Bankkredit eine Anwendungsmöglichkeit des Effektivzinses.

Frage: Lohnt sich die Herauszögerung der Zahlung einer Lieferantenrechnung oder ist die Aufnahme eines Kredites um Skonto zu ziehen sinnvoll?

Lieferantenrechnung: Rechnungsbetrag: 200.000 EUR / Zahlungsziel: 30 Tage bzw. 10 Tage mit 2% Skonto -> Skontoabzug = 4.000 EUR
Konditionen Bankkredit: Zinssatz 11,25%, Kreditbetrag = Rechnungsbetrag abzgl. Skonto = 196.000 EUR, Laufzeit 20 Tage -> Kreditkosten = 1.225 EUR
Ersparnis: Skontoabzug abzgl. Kreditkosten = 2.775 EUR

Alternative Berechnung:

Ansatz: wenn ich 20 Tage länger warte mit der Bezahlung der Rechnung, dann verschenke ich 2% Skonto
Dreisatz: 20 Tage = 2%, d.h. umgerechnet auf 360 Tage = 36%
Der Bankkredit mit seinen 11,25% ist also günstiger

Mehr Informationen

So, mir raucht der Kopf, der Mathematik-Unterricht geht ein andermal weiter

Mehr Infos findet ihr in der Kategorie „Finanzen“ oder werft einfach einen Blick in die anderen Teile unseres Mathematik-Kurses für Unternehmer.

Literatur Tipps

Wer noch ein bisschen mehr lesen möchte, hier ein paar Vorschläge: